Σχεδιάγραμμα προγράμματος

Το "Esquisse d'un Programme" (Σχεδιάγραμμα προγράμματος) είναι μια διάσημη πρόταση για μακροχρόνια μαθηματική έρευνα που έκανε ο γερμανικής καταγωγής, Γάλλος μαθηματικός Αλεξάντερ Γκρότεντικ το 1984. Από το 1984 έως το 1988, ακολούθησε την πορεία των ιδεών που συνδέονταν λογικά μεταξύ τους στην πρόταση του μεγάλου του έργου, αλλά η προτεινόμενη έρευνα συνεχίζει μέχρι σήμερα να παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον σε διάφορους κλάδους των προηγμένων μαθηματικών. Το όραμα του Γκρότεντικ αποτελεί σήμερα πηγή έμπνευσης για διάφορες εξελίξεις στα μαθηματικά, όπως η επέκταση και η γενίκευση της θεωρίας Γκαλουά, η οποία επεκτείνεται επί του παρόντος με βάση την αρχική του πρόταση.

Σύντομο ιστορικό

Το 1984, το Σχεδιάγραμμα προγράμματος ήταν μια πρόταση που υπέβαλε ο Αλεξάντερ Γκροτέντικ για μια θέση στο Εθνικό Κέντρο Επιστημονικών Ερευνών (Centre National de la Recherche Scientifique). Η πρόταση δεν ήταν επιτυχής, αλλά ο Γκροτέντικ απέκτησε μια ειδική θέση όπου, διατηρώντας τη σχέση του με το Πανεπιστήμιο του Μονπελιέ, πληρωνόταν από το CNRS και απαλλασσόταν από τις διδακτικές του υποχρεώσεις. Ο Γκροτέντιεκ κατείχε αυτή τη θέση από το 1984 έως το 1988 Η πρόταση αυτή δεν δημοσιεύθηκε επίσημα έως το 1997, διότι " δεν ήταν δυνατόν να βρεθεί ο δημιουργός της και συνεπώς ούτε ζητήθηκε η άδειά του". Τα περιγράμματα των "παιδικών σχεδίων" (dessins d'enfants) και της "αναμπελιανής γεωμετρίας", που περιέχονται σε αυτό το χειρόγραφο, συνεχίζουν να εμπνέουν την έρευνα- έτσι, "η αναμπελιανή γεωμετρία είναι μια προτεινόμενη θεωρία στα μαθηματικά, που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο η αλγεβρική θεμελιώδης ομάδα G μιας αλγεβρικής ποικιλίας V, ή κάποιου σχετικού γεωμετρικού αντικειμένου, καθορίζει πώς η V μπορεί να απεικονιστεί σε ένα άλλο γεωμετρικό αντικείμενο W, υπό την προϋπόθεση ότι η G δεν είναι αβελιανή ομάδα, με την έννοια ότι είναι ισχυρά μη αντιμεταθετική. Η ιδέα του αναμπελιαν (ένα άλφα στερητικό αν- πριν από το αβελιανό), που παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στην Επιστολή προς τον Φάλτινγκς (27 Ιουνίου 1983),, αναπτύσσεται στο Σχεδιάγραμμα προγράμματος. Ενώ το έργο του Γκροτέντικ παρέμεινε για πολλά χρόνια αδημοσίευτο και μη διαθέσιμο μέσω των παραδοσιακών επίσημων επιστημονικών διαύλων, η διατύπωση και οι προβλέψεις της προτεινόμενης θεωρίας έτυχαν μεγάλης προσοχής, και ορισμένων τροποποιήσεων, στα χέρια πολλών μαθηματικών. Όσοι ερεύνησαν σε αυτόν τον τομέα έλαβαν ορισμένα αναμενόμενα και σχετικά αποτελέσματα, και τον 21ο αιώνα άρχισαν να διατίθενται οι απαρχές μιας τέτοιας θεωρίας".

Περίληψη του προγράμματος του Γκρότεντικ

("Περιεχόμενα")

1. . Η πρόταση και η επιχείρηση ("Envoi").
2. . "Το Lego-παίγνιο του Τέιχμιλλερ και η ομάδα Γαλουά του Q επί του Q".
3. . Πεδία αριθμών που σχετίζονται με τις ζωγραφιές των παιδιών.
4. . Κανονικά πολύεδρα πάνω σε πεπερασμένα πεδία .
5. . Γενική τοπολογία ή "Μετριοπαθής" τοπολογία (αγγλ.Moderated Topology ή Tape topology)
6. . Διαφορίσιμες θεωρίες και μετριοπαθείς θεωρίες
7. . Καταδίωξη στοίβων.
8. . Δισδιάστατη γεωμετρία.
9. . Περίληψη των προτεινόμενων μελετών
10. . Επίλογος.
11. . Σημειώσεις

Προτάσεις για περαιτέρω ανάγνωση για τους ενδιαφερόμενους μαθηματικούς παρέχονται στην ενότητα ""Παραπομπές"".

Επεκτάσεις της θεωρίας Γκαλουά για ομάδες: Γκαλουά, κατηγορίες και συναρτητές

Ο Γκαλουά ανέπτυξε μια ισχυρή, θεμελιώδη αλγεβρική θεωρία στα μαθηματικά που παρέχει πολύ αποτελεσματικούς υπολογισμούς για ορισμένα αλγεβρικά προβλήματα χρησιμοποιώντας την αλγεβρική έννοια των ομάδων, η οποία είναι πλέον γνωστή ως θεωρία των ομάδων Γκαλουά- τέτοιοι υπολογισμοί δεν ήταν δυνατοί πριν, και επίσης σε πολλές περιπτώσεις είναι πολύ πιο αποτελεσματικοί από τους "άμεσους" υπολογισμούς χωρίς τη χρήση ομάδων: "Έτσι, η ομάδα Γκαλουά πραγματοποιείται ως η ομάδα αυτομορφισμού μιας συγκεκριμένης, προ-πεπεπερασμένης ομάδας που σέβεται ορισμένες δομές που είναι ουσιώδεις για την ομάδα αυτή". Αυτή η θεμελιώδης θεωρία των ομάδων Γκαλουά στα μαθηματικά διευρύνθηκε σημαντικά, πρώτα στα ομαδοειδή - όπως πρότειναν στο Σχεδιάγραμμα προγράμματος "Esquisse d'un Programme" (EdP) του Αλεξάντερ Γκρότεντικ. και τώρα έχει ήδη εν μέρει πραγματοποιηθεί για τα ομαδοειδή- τα τελευταία αναπτύσσονται τώρα περαιτέρω πέρα από τα ομαδοειδή σε κατηγορίες από διάφορες ομάδες μαθηματικών. Εδώ, θα εστιάσουμε μόνο στις καθιερωμένες και πλήρως επικυρωμένες επεκτάσεις της θεωρίας του Γκαλουά. Έτσι, ο EdP πρότεινε επίσης και προέβλεψε, μαζί με τα προηγούμενα σεμινάρια IHÉS του Γκρότεντικ (SGA1 έως SGA4) που πραγματοποιήθηκαν στη δεκαετία του 1960, την ανάπτυξη ακόμη πιο ισχυρών επεκτάσεων της αρχικής θεωρίας του Γκαλουά για ομάδες με τη χρήση κατηγοριών, συναρτησιακών και φυσικών μετασχηματισμών, καθώς και την περαιτέρω επέκταση της πολλαπλότητας των ιδεών που παρουσιάζονται στη Θεωρία Καθόδου του Αλεξάντερ Γκρότεντικ. Η έννοια του κινήτρου έχει επίσης επιδιωχθεί ενεργά. Αυτή αναπτύχθηκε στην κινητική ομάδα Γαλουά, στην τοπολογία Γκρότεντικ και στην κατηγορία Γκρότεντικ

. Τέτοιες εξελίξεις επεκτάθηκαν πρόσφατα στην αλγεβρική τοπολογία μέσω των αναπαραστάσιμων συναρτησιακών και του θεμελιώδους συναρτησιακού ομαδοειδούς.

Δημοσιεύσεις

Σχετικά έργα του Αλεξάντερ Γκρότεντικ

• Alexander Grothendieck. 1971, Revêtements Étales et Groupe Fondamental (SGA1), chapter VI: Catégories fibrées et descente, Lecture Notes in Math. 224, Springer-Verlag: Berlin.
• Alexander Grothendieck. 1957, Sur quelques points d'algèbre homologique, Tohoku Mathematics Journal, 9, 119-221.
• Alexander Grothendieckk and Jean Dieudonné.: 1960, Éléments de géométrie algébrique., Publ. Inst. des Hautes Études Scientifiques, (IHÉS), 4.
• Alexander Grothendieck et al.,1971. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie, Vol. 1-7, Berlin: Springer-Verlag.
• Alexander Grothendieck. 1962. Séminaires en Géométrie Algébrique du Bois-Marie, Vol. 2 - Cohomologie Locale des Faisceaux Cohèrents et en:Théorèmes de Lefschetz Locaux et Globaux., pp. 287. (with an additional contributed exposé by Mme. Michele Raynaud). (Typewritten manuscript available in French; see also a brief summary in English References Cited:
  • Jean-Pierre Serre. 1964. en:Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag: Berlin.
  • J. L. Verdier. 1965. Algèbre homologiques et Catégories derivées. North Holland Publ. Cie).
• Alexander Grothendieck et al. Séminaires en Géometrie Algèbrique- 4, Tome 1, Exposé 1 (or the Appendix to Exposée 1, by `en:N. Bourbaki) for more detail and a large number of results. AG4 is freely available in French; also available is an extensive Abstract in English.
• Alexander Grothendieck, 1984. "Esquisse d'un Programme", (1984 manuscript), finally published in "Geometric Galois Actions", L. Schneps, P. Lochak, eds., London Math. Soc. Lecture Notes 242, Cambridge University Press, 1997, pp. 5-48; English transl., ibid., pp. 243-283. MR 1483107.
• Alexander Grothendieck, "La longue marche in à travers la théorie de Galois." = "The Long March Towards/Across the Theory of Galois", 1981 manuscript, Πανεπιστήμιο του Μονπελιέ preprint series 1996, edited by J. Malgoire.

Άλλες σχετικές δημοσιεύσεις

• Schneps, Leila (1994), The Grothendieck Theory of Dessins d'Enfants, London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press .
• Schneps, Leila; Lochak, Pierre, επιμ.. (1997), Geometric Galois Actions I: Around Grothendieck's Esquisse D'un Programme, London Mathematical Society Lecture Note Series, 242, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59642-8 
• Schneps, Leila; Lochak, Pierre, επιμ.. (1997), Geometric Galois Actions II: The Inverse Galois Problem, Moduli Spaces and Mapping Class Groups, London Mathematical Society Lecture Note Series, 243, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59641-1 
• Harbater, David; Schneps, Leila (2000), «Fundamental groups of moduli and the Grothendieck–Teichmüller group», Trans. Amer. Math. Soc. 352 (7): 3117–3148, doi:10.1090/S0002-9947-00-02347-3 .

Δείτε επίσης

• Archives Grothendieck Université de Montpellier

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Around Grothendieck's Esquisse D'un Programme
• Geometric Galois Actions: Volume 2, The Inverse Galois Problem, Moduli Spaces and Mapping Class Groups
• Handbook of Teichmüller Theory, Τόμος 2