Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
Στην ευκλείδεια γεωμετρία, η μεσοκάθετη ευθεία ή απλά μεσοκάθετη (ή αλλιώς μεσοκάθετος) ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.[1]:40[2]:70-72
Η μεσοκάθετη ως γεωμετρικός τόπος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Θεώρημα — Η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
| Απόδειξη |
 Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο της μεσοκάθετής του. Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς. Συνεπώς θα είναι . Αντίστροφα, έστω το ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε . Αν είναι το ίχνος του στο , τα τρίγωνα και είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και ίση υποτείνουσα. Τότε θα έχουμε , δηλαδή το θα είναι το μέσο του και η κάθετη θα είναι η μεσοκάθετη. |
Αναλυτική γεωμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Έστω και δύο σημεία του επιπέδου. Τότε η εξίσωση της ευθείας της μεσοκαθέτου δίνεται από τον τύπο
- ,
καθώς η ευθεία διέρχεται από το το μέσο του και έχει κλίση
ως κάθετη στο .
Γεωμετρική κατασκευή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα και και ακτίνα .
- Βρίσκουμε τα σημεία τομής και των δύο κύκλων.
- Η ευθεία που ενώνει τα και είναι η μεσοκάθετος του .
Μεσοκάθετοι τριγώνου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Θεώρημα — Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και ονομάζεται περίκεντρο.
| Απόδειξη |
|
Έστω η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών και . Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι
Άρα το ισαπέχει και από το σημείο . Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του . Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των , και συντρέχουν στο . |
Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
| |||||