Ευθύγραμμο τμήμα

Στην γεωμετρία, το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ είναι εκείνο το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία μεταξύ δύο σημείων ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ μίας ευθείας $\epsilon$ , καθώς και τα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ .^[1]^:3-4

Η δε ευθεία $\epsilon$ καλείται φορέας του ευθύγραμμου τμήματος και τα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ , άκρα του. Η ύπαρξη του ευθυγράμμου τμήματος μεταξύ οποιονδήποτε σημείων ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ προκύπτει από τα αξιώματα της γεωμετρίας.

Είδη ευθυγράμμου τμήματος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όταν τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος δεν ανήκουν σ΄ αυτό, τότε το ευθύγραμμο τμήμα ονομάζεται ανοιχτό.
Όταν αντίθετα, τα άκρα ανήκουν σε αυτό ονομάζεται κλειστό.
Τέλος όταν τα άκρα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ συμπίπτουν, δηλαδή ${\rm {A}}={\rm {B}}$ , τότε ονομάζεται μηδενικό.

Άλλες έννοιες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το μήκος ενός ευθυγράμμου σχήματος ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ των δύο άκρων.

Το μέσο ${\rm {M}}$ ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ , ονομάζεται το σημείο του εκείνο που ισαπέχει από τα άκρα του, έτσι ώστε ${\rm {MA}}={\rm {MB}}$ . Από τα αξιώματα προκύπτει ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο.

Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται διαδοχικά όταν έχουν ένα κοινό άκρο αλλά κανένα κοινό εσωτερικό σημείο.

Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σύγκριση ευθυγράμμων τμημάτων

{\rm {AB}}<{\rm {\Gamma \Delta }}

{\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}

{\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}

Ας είναι ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ ευθύγραμμα τμήματα με φορείς $\epsilon$ και $\delta$ αντίστοιχα. Ταυτίζουμε τις $\epsilon$ και $\delta$ έτσι ώστε το ${\rm {A}}$ να συμπίπτει με το ${\rm {\Gamma }}$ .

Αν το ${\rm {\Delta }}$ συμπίπτει με το ${\rm {B}}$ λέμε ότι το ${\rm {AB}}$ είναι ίσο με το ${\rm {\Gamma \Delta }}$ και συμβολίζουμε ${\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}$ .
Αν το ${\rm {\Delta }}$ βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος ${\rm {AB}}$ τότε λέμε ότι το ${\rm {AB}}$ είναι μεγαλύτερο από το ${\rm {\Gamma \Delta }}$ και συμβολίζουμε ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ .
Τέλος, αν το ${\rm {\Delta }}$ βρίσκεται στην ημιευθεία ${\rm {AB}}$ , αλλά όχι ανάμεσα στα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ , τότε λέμε ότι το ${\rm {AB}}$ είναι μικρότερο από το ${\rm {\Gamma \Delta }}$ και συμβολίζουμε ${\rm {AB}}<{\rm {\Gamma \Delta }}$ .

Ιδιότητες ισότητας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων είναι σχέση ισοδυναμίας, δηλαδή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

Ανακλαστική, δηλαδή

{\rm {AB}}={\rm {AB}}

Συμμετρική, δηλαδή αν

{\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}

τότε ισχύει και

{\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {AB}}

Μεταβατική: αν

{\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}

και

{\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {EZ}}

τότε ισχύει και

{\rm {AB}}={\rm {EZ}}

.

Ιδιότητες ανισότητας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Επίσης η σχέση ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ ή ${\rm {AB}}<{\rm {\Gamma \Delta }}$ λέγεται σχέση ανισότητας. Στη σχέση αυτή ισχύει η μεταβατική ιδιότητα, δηλαδή αν ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}>{\rm {EZ}}$ τότε και ${\rm {AB}}>{\rm {EZ}}$ .

Η σχέση ανισότητας είναι αντισυμμετρική (καθώς δεν μπορεί να ισχύει και ${\rm {AB}}<{\rm {\Gamma \Delta }}$ αλλά και ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ ) και μη-ανακλαστική (καθώς δεν ισχύει ${\rm {AB}}<{\rm {AB}}$ ) και επομένως είναι μία σχέση γνήσιας διάταξης.

Πράξεις επί ευθυγράμμων τμημάτων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρόσθεση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω

{\rm {AB}}

,

{\rm {\Gamma \Delta }}

ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία

\epsilon

παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα

{\rm {K\Lambda }}

,

{\rm {\Lambda M}}

τέτοια ώστε

{\rm {K\Lambda }}={\rm {AB}}

και

{\rm {\Lambda M}}={\rm {\Gamma \Delta }}

. Τότε άθροισμα των

{\rm {AB}}

και

{\rm {\Gamma \Delta }}

θα καλούμε το ευθύγραμμο τμήμα

{\rm {KM}}

και θα γράφουμε

{\rm {KM}}={\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}

.

Το άθροισμα περισσοτέρων από δύο ευθυγράμμων τμημάτων, ορίζεται επαγωγικά μετά το άθροισμα των δύο πρώτων προστίθεται το τρίτο και συνεχίζεται η πρόσθεση όλων των τμημάτων. Στη πρόσθεση αυτή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

Αντιμεταθετική: για κάθε δύο ευθύγραμμα τμήματα $\alpha ,\beta$ , ισχύει ότι $\alpha +\beta =\beta +\alpha$ .
Προσεταιριστική: για κάθε τρία ευθύγραμμα τμήματα $\alpha ,\beta ,\gamma$ ισχύει ότι $(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$ .
Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο που είναι το μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα $0$ για το οποίο ισχύει $\alpha +0=0+\alpha =\alpha$ .

Η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων ως προς την σχέση της ανισότητας παρουσιάζει τις δύο ακόλουθες ιδιότητες:

Αν για παράδειγμα ${\rm {AB}}>{\rm {B\Gamma }}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}>{\rm {\Delta E}}$ τότε ${\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}>{\rm {B\Gamma }}+{\rm {\Delta E}}$ (πρόσθεση κατά μέλη ομοιόστροφων ανισοτήτων).
Αν επίσης ${\rm {AB}}>{\rm {B\Gamma }}$ τότε συνεπάγεται ότι ${\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}>{\rm {B\Gamma }}+{\rm {\Gamma \Delta }}$ (πρόσθεση ίδιου τμήματος στα μέλη μιας ανισότητας).

Αφαίρεση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω

{\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}

ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία

\epsilon

παίρνουμε τα

{\rm {K\Delta }}={\rm {AB}}

και

{\rm {KM}}={\rm {\Gamma \Delta }}

με το σημείο

{\rm {M}}

να κείται στο εσωτερικό του

{\rm {K\Lambda }}

. Τότε διαφορά του

{\rm {\Gamma \Delta }}

από το

{\rm {AB}}

θα λέμε το ευθύγραμμο τμήμα

{\rm {M\Lambda }}

και θα γράφουμε

{\rm {M\Lambda }}={\rm {AB}}-{\rm {\Gamma \Delta }}

.

Πολλαπλασιασμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γινόμενο ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ επί ένα φυσικό αριθμό, έστω $3$ , λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {A\Gamma }}$ που γίνεται από το ${\rm {AB}}$ αν ληφθεί τρεις φορές. Δηλαδή ${\rm {A\Gamma }}=3{\rm {AB}}$

Έστω ${\rm {AB}}$ ευθύγραμμο τμήμα και $\nu$ ένας φυσικός αριθμός. Αν ${\rm {K\Lambda }}$ είναι ευθύγραμμο τμήμα για το οποίο

\mathrm {K} \Lambda =\underbrace {\mathrm {A} \mathrm {B} +\cdots +\mathrm {A} \mathrm {B} } _{\nu }

,

τότε λέμε ότι το

{\rm {K\Lambda }}

είναι το

\nu

-πλάσιο γινόμενο του

{\rm {AB}}

και γράφουμε

\mathrm {K} \Lambda =\nu \cdot \mathrm {A} \mathrm {B}

, καθώς και ότι το

{\rm {AB}}

είναι το υπο-ν-πλάσιο γινόμενο του

{\rm {K\Lambda }}

, και γράφουμε

\mathrm {A} \mathrm {B} ={\tfrac {1}{\nu }}\mathrm {K} \Lambda

. Τέλος αν για μ φυσικό αριθμό είναι

\Gamma \Delta =\mu \cdot \mathrm {A} \mathrm {B}

τότε μπορούμε να γράψουμε

\Gamma \Delta ={\tfrac {\mu }{\nu }}\mathrm {K} \Lambda

και το τμήμα

{\rm {\Gamma \Delta }}

ονομάζεται γινόμενο του ρητού αριθμού

\mu /\nu

με το ευθύγραμμο τμήμα

{\rm {K\Lambda }}

.

Με τη μέτρηση ενός ευθύγραμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο αυθαίρετα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {K\Lambda }}$ . Αν ισχύει ${\rm {AB}}={\tfrac {\mu }{\nu }}{\rm {K\Lambda }}$ , τότε λέμε ότι το μήκος του ${\rm {AB}}$ ως προς το ${\rm {K\Lambda }}$ είναι $\mu /\nu$ , ή ότι η απόσταση του ${\rm {A}}$ από το ${\rm {B}}$ είναι $\mu /\nu$ .

Διαίρεση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το πηλίκο ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ δια ενός φυσικού αριθμού, έστω 3, ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {A\Gamma }}$ που είναι ίσο με το ένα από τα τρία ίσα μέρη στα οποία χωρίζεται το ${\rm {AB}}$ , όπου και θα ισχύει η σχέση ${\rm {A\Gamma }}={\rm {AB}}/3$ .

Σε έναν διανυσματικό χώρο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε έναν πραγματικό (ή μιγαδικό) διανυσματικό χώρο $V$ , το (κλειστό) ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ δύο σημείων $\mathbf {a}$ και $\mathbf {b}$ είναι το εξής σύνολο των σημείων