Κανονική δέσμη

Στη διαφορική γεωμετρία, ένα πεδίο των μαθηματικών, η κανονική δέσμη^[1] είναι ένα ιδιαίτερο είδος διανυσματικής δέσμης, συμπληρωματικό της εφαπτομενικής δέσμης, και προέρχεται από μια εμφύτευση (ή εμβάπτιση^[2]).

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πολλαπλότητα του Ρίμαν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $(M,g)$ μια πολλαπλότητα του Ρίμαν και $S\subset M$ μια υποπολλαπλότητα του Ρίμαν. Ορίζουμε, για ένα δεδομένο $p\in S$ , ένα διάνυσμα $n\in \mathrm {T} _{p}M$ να είναι κανονικό στο $S$ όποτε $g(n,v)=0$ για όλα τα $v\in \mathrm {T} _{p}S$ (έτσι ώστε το $n$ να είναι ορθογώνιο στο $\mathrm {T} _{p}S$ ). Το σύνολο $\mathrm {N} _{p}S$ όλων αυτών των $n$ ονομάζεται τότε κανονικός χώρος στο $S$ στο $p$ .

Ακριβώς όπως ο συνολικός χώρος της εφαπτομένης δέσμης σε μια πολλαπλότητα κατασκευάζεται από όλους τους εφαπτόμενους χώρους στην πολλαπλότητα, ο συνολικός χώρος της κανονικής δέσμης'^[3] $\mathrm {N} S$ to $S$ ορίζεται ως εξής

\mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S

.

Η κανονική δέσμη ορίζεται ως δυϊκή δέσμη της κανονικής δέσμης. Μπορεί να υλοποιηθεί φυσικά ως μια υπο-δέσμη της συνεφαπτόμενης δέσμης.

Γενικός ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ποιο συγκεκριμένα, με δεδομένη μια εμβάπτιση : $i:N\to M$ (παραδείγματος χάριν μια εμφύτευση), μπορεί κανείς να ορίσει μια κανονική δέσμη του N στο M, παίρνοντας σε κάθε σημείο του N το πηλίκο του εφαπτόμενου χώρου στο M από τον εφαπτόμενο χώρο στο N. Για μια πολλαπλότητα Ρίμαν μπορεί κανείς να ταυτίσει αυτό το πηλίκο με το ορθογώνιο συμπλήρωμα, αλλά γενικά δεν μπορεί (μια τέτοια επιλογή είναι ισοδύναμη με ένα τμήμα της προβολής $V\to V/W$ ).

Έτσι, η κανονική δέσμη είναι γενικά ένα πηλίκο της εφαπτομενικής δέσμης του περιβάλλοντος χώρου που περιορίζεται στον υποχώρο.

Τυπικά, η κανονική δέσμη^[4] προς το N στο M είναι ένα πηλίκο της εφαπτόμενης δέσμης στο M: έχουμε τη σύντομη ακριβή ακολουθία διανυσματικών δεσμών στο N:

0\to TN\to TM\vert _{i(N)}\to T_{M/N}:=TM\vert _{i(N)}/TN\to 0

όπου $TM\vert _{i(N)}$ είναι ο περιορισμός της εφαπτόμενης δέσμης στο M στο N (πιο σωστά, αντίστροφη εικόνα (pull-back^[5]) $i^{*}TM$ της εφαπτόμενης δέσμης στο M σε μια διανυσματική δέσμη στο N μέσω του χάρτη $i$ ). Η ίνα της κανονικής δέσμης $T_{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N$ στο $p\in N$ αναφέρεται ως κανονικός χώρος στο $p$ ' (του $N$ στο $M$ ).

Κανονική δέσμη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν $Y\subseteq X$ είναι μια ομαλή υποπολλαπλότητα μιας πολλαπλότητας $X$ , μπορούμε να πάρουμε τοπικές συντεταγμένες $(x_{1},\dots ,x_{n})$ γύρω από $p\in Y$ έτσι ώστε η $Y$ να ορίζεται τοπικά από τη σχέση $x_{k+1}=\dots =x_{n}=0$ ; τότε με αυτή την επιλογή των συντεταγμένων

{\begin{aligned}T_{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\T_{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\{T_{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}

και η ιδεώδης δέσμη παράγεται τοπικά από $x_{k+1},\dots ,x_{n}$ . Επομένως, μπορούμε να ορίσουμε μια μη εκφυλισμένη σύζευξη

(I_{Y}/I_{Y}^{2})_{p}\times {T_{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R}

που εισάγει έναν ισομορφισμό των δεματιών $T_{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})^{\vee }$ . Μπορούμε να επαναδιατυπώσουμε αυτό το γεγονός εισάγοντας την κανονική δέσμη $T_{X/Y}^{*}$ που ορίζεται μέσω της

κανονικής ακριβούς ακολουθίας

0\to T_{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0

,

τότε $T_{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})$ , δηλαδή τα τμήματα της κανονικής δέσμης είναι τα συνεφαπτομένα διανύσματα του $X$ που εξανεμίζονται στο $TY$ .

Όταν $Y=\lbrace p\rbrace$ είναι ένα σημείο, τότε η ιδεώδης δέσμη είναι η δέσμη των λείων βλαστών που εξαφανίζονται στο $p$ και ο ισομορφισμός ανάγεται στον ορισμό του εφαπτόμενου χώρου σε όρους βλαστών λείων συναρτήσεων στο $X$ .

T_{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (T_{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{2}}}

.

Σταθερή κανονική δέσμη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι αφηρημένες πολλαπλότητες έχουν μια κανονική εφαπτομενική δέσμη, αλλά δεν έχουν κανονική δέσμη: μόνο μια ενσωμάτωση (ή εμβάπτιση) μιας πολλαπλότητας σε μια άλλη δίνει μια κανονική δέσμη. Ωστόσο, δεδομένου ότι κάθε πολλαπλότητα μπορεί να ενσωματωθεί στον $\mathbf {R} ^{N}$ , σύμφωνα με το θεώρημα ενσωμάτωσης Γουίτνεϋ, κάθε πολλαπλότητα δέχεται μια κανονική δέσμη, δεδομένης μιας τέτοιας ενσωμάτωσης.

Γενικά δεν υπάρχει φυσική επιλογή της ενσωμάτωσης, αλλά για ένα δεδομένο M, οποιεσδήποτε δύο ενσωματώσεις στο $\mathbf {R} ^{N}$ για επαρκώς μεγάλο N είναι κανονικά ομοτοπικές, και συνεπώς επάγουν την ίδια κανονική δέσμη. Η προκύπτουσα κλάση κανονικών δεσμών (πρόκειται για κλάση δεσμών και όχι για συγκεκριμένη δέσμη επειδή το N μπορεί να μεταβάλλεται) ονομάζεται σταθερή κανονική δέσμη.

Δυϊκή προς την εφαπτομενική δέσμη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η κανονική δέσμη είναι διπλή της εφαπτομενικής δέσμης με την έννοια της Κ-θεωρίας: με την παραπάνω σύντομη ακριβή ακολουθία,

[TN]+[T_{M/N}]=[TM]

στην ομάδα Γκρόθεντιεκ. Στην περίπτωση βύθισης στον $\mathbf {R} ^{N}$ , η εφαπτομενική δέσμη του περιβάλλοντος χώρου είναι τετριμμένη (αφού ο $\mathbf {R} ^{N}$ είναι συρρικνούμενος, άρα παραλληλοποιήσιμος), οπότε $[TN]+[T_{M/N}]=0$ , και επομένως $[T_{M/N}]=-[TN]$ .

Αυτό είναι χρήσιμο για τον υπολογισμό των χαρακτηριστικών κλάσεων και επιτρέπει την απόδειξη κατώτερων ορίων για την βυθιστότητα και την ενσωμάτωση των πολλαπλοτήτων στον Ευκλείδειο χώρο.

Για συμπλεκτικές πολλαπλότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ας υποθέσουμε ότι μια πολλαπλότητα $X$ ενσωματώνεται σε μια συμπλεκτική πολλαπλότητα $(M,\omega )$ , έτσι ώστε η αντίστροφη εικόνα (pull-back^[5]) της συμπλεκτικής μορφής να έχει σταθερό βαθμό στην $X$ . Τότε μπορούμε να ορίσουμε τη συμπλεκτική κανονική δέσμη στο X ως τη διανυσματική δέσμη πάνω στο X με ίνες

(T_{i(x)}X)^{\omega }/(T_{i(x)}X\cap (T_{i(x)}X)^{\omega }),\quad x\in X,

όπου $i:X\rightarrow M$ δηλώνει την ενσωμάτωση. Ας σημειωθεί ότι η συνθήκη σταθερού βαθμού εξασφαλίζει ότι αυτοί οι κανονικοί χώροι ταιριάζουν μεταξύ τους για να σχηματίσουν μια δέσμη. Επιπλέον, κάθε ίνα κληρονομεί τη δομή ενός συμπλεκτικού διανυσματικού χώρου.^[6]

Σύμφωνα με το θεώρημα του Νταρμπού, η ενσωμάτωση σταθερού βαθμού καθορίζεται τοπικά από το $i^{*}(TM)$ . Ο ισομορφισμός

i^{*}(TM)\cong TX/\nu \oplus (TX)^{\omega }/\nu \oplus (\nu \oplus \nu ^{*}),\quad \nu =TX\cap (TX)^{\omega },

των συμπλεκτικών διανυσματικών δεσμών πάνω από $X$ συνεπάγεται ότι η συμπλεκτική κανονική δέσμη καθορίζει ήδη την ενσωμάτωση σταθερού βαθμού τοπικά. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι παρόμοιο με την περίπτωση Ρίμαν.