Διαφορική δομή

Στα μαθηματικά, μια n-διάστατη διαφορική δομή (ή διαφοροποιήσιμη δομή) σε ένα σύνολο M μετατρέπει το M σε μια n-διάστατη διαφορική πολλαπλότητα, η οποία είναι μια τοπολογική πολλαπλότητα με κάποια πρόσθετη δομή που επιτρέπει τον διαφορικό λογισμό στην πολλαπλότητα. Αν η M είναι ήδη μια τοπολογική πολλαπλότητα, απαιτείται η νέα τοπολογία να είναι πανομοιότυπη με την υπάρχουσα.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για έναν φυσικό αριθμό n και κάποιο k που μπορεί να είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος ή το άπειρο, μια n-διάστατη διαφορική δομή C^k ^[1] ορίζεται χρησιμοποιώντας ένα C^k-άτλαντας, το οποίο είναι ένα σύνολο από διενέξεις που ονομάζονται διαγράμματα μεταξύ υποσυνόλων του M (των οποίων η ένωση είναι το σύνολο του M) και ανοικτών υποσυνόλων του $\mathbb {R} ^{n}$ :

\varphi _{i}:M\supset W_{i}\rightarrow U_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}

οι οποίες είναι C^k-συμβατές (με την έννοια που ορίζεται παρακάτω):

Κάθε διάγραμμα επιτρέπει σε ένα υποσύνολο της πολλαπλότητας να θεωρηθεί ως ένα ανοικτό υποσύνολο της $\mathbb {R} ^{n}$ , αλλά η χρησιμότητα αυτού εξαρτάται από το πόσο συμφωνούν τα διαγράμματα όταν τα πεδία τους επικαλύπτονται.

Ας εξετάσουμε δύο διαγράμματα:

\varphi _{i}:W_{i}\rightarrow U_{i},

\varphi _{j}:W_{j}\rightarrow U_{j}.

Το σημείο τομής των τομέων τους είναι

W_{ij}=W_{i}\cap W_{j}

των οποίων οι εικόνες κάτω από τα δύο διαγράμματα είναι

U_{ij}=\varphi _{i}\left(W_{ij}\right),

U_{ji}=\varphi _{j}\left(W_{ij}\right).

Ο χάρτης μετάβασης μεταξύ των δύο διαγραμμάτων μεταφράζεται μεταξύ των εικόνων τους στον κοινό τους τομέα:

U_{ij}=\varphi _{i}\left(W_{ij}\right),

U_{ji}=\varphi _{j}\left(W_{ij}\right).

Δύο διαγράμματα $\varphi _{i},\,\varphi _{j}$ είναι C^k-συμβατά αν

U_{ij},\,U_{ji}

είναι ανοικτά, και οι χάρτες μετάβασης

\varphi _{ij},\,\varphi _{ji}

έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους τάξης k. Αν k = 0, απαιτείται μόνο οι χάρτες μετάβασης να είναι συνεχείς, συνεπώς ένα C⁰-άτλας είναι απλώς ένας άλλος τρόπος για να ορίσουμε μια τοπολογική πολλαπλότητα. Εάν k = ∞ οι παράγωγοι όλων των τάξεων πρέπει να είναι συνεχείς. Μια οικογένεια C^k-συμβατών διαγραμμάτων που καλύπτει ολόκληρη την πολλαπλότητα είναι ένα C^k-άτλας που ορίζει μια Ck διαφορική πολλαπλότητα. Δύο άτλαντες είναι C^k-ισοδύναμες αν η ένωση των συνόλων των διαγραμμάτων τους σχηματίζει ένα C^k-άτλας. Ειδικότερα, ένα C^k-άτλας που είναι C0-συμβατό με ένα C⁰-άτλας που ορίζει μια τοπολογική πολλαπλότητα λέγεται ότι καθορίζει μια C^k διαφορική δομή στην τοπολογική πολλαπλότητα. Οι κλάσεις ισοδυναμίας C^k τέτοιων άτλαντων είναι οι διακριτές διαφορικές δομές C^k της πολλαπλότητας. Κάθε διακριτή διαφορική δομή καθορίζεται από ένα μοναδικό μέγιστο άτλαντα, το οποίο είναι απλώς η ένωση όλων των άτλαντων της κλάσης ισοδυναμίας.

Για λόγους απλοποίησης της γλώσσας, χωρίς καμία απώλεια ακρίβειας, θα μπορούσαμε απλά να ονομάσουμε ένα μέγιστο C^k-άτλας σε ένα δεδομένο σύνολο μια C^k-πολλαπλότητα. Αυτός ο μέγιστος άτλας καθορίζει τότε μοναδικά τόσο την τοπολογία όσο και το υποκείμενο σύνολο, το τελευταίο είναι η ένωση των περιοχών όλων των διαγραμμάτων και το πρώτο έχει ως βάση το σύνολο όλων αυτών των περιοχών.

Θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για κάθε ακέραιο k > 0 και για κάθε n-διάστατη C^k-πολλαπλότητα, ο μέγιστος άτλας περιέχει έναν C^∞-άτλας στο ίδιο υποκείμενο σύνολο σύμφωνα με ένα θεώρημα που οφείλεται στον Χάσλερ Γουίτνεϊ. Αποδείχθηκε επίσης ότι κάθε μέγιστος C^k-άτλας περιέχει κάποιο αριθμό διακριτών μέγιστων C^∞-άτλαντων όποτε n > 0, αν και για κάθε ζεύγος αυτών των διακριτών C∞-άτλαντων υπάρχει ένας C∞-διαφορομορφισμός που τα ταυτίζει. Προκύπτει ότι υπάρχει μόνο μία κατηγορία λείων δομών (modulo pairwise smooth diffeomorphism) πάνω σε κάθε τοπολογική πολλαπλότητα που δέχεται μία διαφοροποιήσιμη δομή, δηλαδή Οι C^∞-, δομές σε μία C^k-πολλαπλότητα. Λίγο χαλαρά, θα μπορούσαμε να το εκφράσουμε αυτό λέγοντας ότι η λεία δομή είναι (ουσιαστικά) μοναδική. Η περίπτωση για k = 0 είναι διαφορετική. Συγκεκριμένα, υπάρχουν τοπολογικές πολλαπλότητες που δεν δέχονται καμία C¹-δομή, ένα αποτέλεσμα που αποδείχθηκε από τον Κερβέρ (1960),^[2] και αργότερα εξηγήθηκε στο πλαίσιο του θεωρήματος του Ντόναλντσον (συγκρίνετε το πέμπτο πρόβλημα του Χίλμπερτ).

Οι λείες δομές σε μια προσανατολισμένη πολλαπλότητα συνήθως υπολογίζονται ως προς τους λείους ομοιομορφισμούς που διατηρούν τον προσανατολισμό. Τότε τίθεται το ερώτημα αν υπάρχουν διαφορομορφισμοί που αντιστρέφουν τον προσανατολισμό. Υπάρχει μια "ουσιαστικά μοναδική" λεία δομή για κάθε τοπολογική πολλαπλότητα διάστασης μικρότερης από 4. Για συμπαγείς πολλαπλότητες διάστασης μεγαλύτερης από 4, υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός "λείων τύπων", δηλαδή κλάσεις ισοδυναμίας λείων διαφορικών λείων δομών ανά ζεύγη. Στην περίπτωση του Rⁿ με n ≠ 4, ο αριθμός αυτών των τύπων είναι ένας, ενώ για n = 4, υπάρχουν αναρίθμητα πολλοί τέτοιοι τύποι. Αναφέρεται κανείς σε αυτούς με τον όρο exotic (εξωτικός) R⁴.

Διαφορικές δομές σε σφαίρες διάστασης 1 έως 20[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στον παρακάτω πίνακα παρατίθεται ο αριθμός των λείων τύπων της τοπολογικής m-σφαίρας S^m για τις τιμές της διάστασης m από 1 έως 20. Οι σφαίρες με λεία, δηλαδή C^∞-διαφορική δομή που δεν είναι λεία διαφορικόμορφη με τη συνήθη είναι γνωστές ως εξωτικές σφαίρες.

Διάσταση	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Λείοι τύποι	1	1	1	≥1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24

Προς το παρόν δεν είναι γνωστό πόσους λείους τύπους έχει η τοπολογική σφαίρα S⁴, εκτός από το ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας. Μπορεί να υπάρχει ένας, ένας πεπερασμένος αριθμός ή ένας άπειρος αριθμός. Ο ισχυρισμός ότι υπάρχει μόνο ένας είναι γνωστός ως η εικασία του λείου τύπου Πουανκαρέ (βλ. Γενικευμένη εικασία Πουανκαρέ). Οι περισσότεροι μαθηματικοί πιστεύουν ότι αυτή η εικασία είναι λανθασμένη, δηλαδή ότι το S⁴ έχει περισσότερους από έναν λείους τύπους. Το πρόβλημα συνδέεται με την ύπαρξη άνω του ενός λείου τύπου του τοπολογικού 4 δίσκου (ή 4 μπάλας).

Διαφορικές δομές σε τοπολογικές πολλαπλότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, σε διαστάσεις μικρότερες από 4, υπάρχει μόνο μία διαφορική δομή για κάθε τοπολογική πολλαπλότητα. Αυτό αποδείχθηκε από τον Τίμπορ Ράντο για τις διαστάσεις 1 και 2, και από τον Έντουιν Ε. Μόιζ στη διάσταση 3.^[3] Χρησιμοποιώντας τη θεωρία των εμποδίων, οι Ρόμπιον Κίρμπι και Λοράν Κ. Σίμπενμαν μπόρεσαν να δείξουν ότι ο αριθμός των δομών PL για συμπαγείς τοπολογικές πολλαπλότητες διάστασης μεγαλύτερης από 4 είναι πεπερασμένος.^[4] Οι Τζον Μίλνορ, Μισέλ Κερβέιρ και Μόρις Χιρς απέδειξαν ότι ο αριθμός των λείων δομών σε μια συμπαγή πολλαπλότητα PL είναι πεπερασμένος και συμφωνεί με τον αριθμό των διαφορικών δομών στη σφαίρα για την ίδια διάσταση (βλ. το βιβλίο Asselmeyer-Maluga, Brans κεφάλαιο 7) . Συνδυάζοντας αυτά τα αποτελέσματα, ο αριθμός των λείων δομών σε μια συμπαγή τοπολογική πολλαπλότητα διάστασης όχι ίσης με 4 είναι πεπερασμένος.

Η διάσταση 4 είναι πιο περίπλοκη. Για συμπαγείς πολλαπλότητες, τα αποτελέσματα εξαρτώνται από την πολυπλοκότητα της πολλαπλότητας, όπως μετριέται από τον δεύτερο αριθμό Μπέτι b₂. Για μεγάλους αριθμούς Μπέτι b₂ > 18 σε μια απλά συνδεδεμένη 4-πολλαπλότητα, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει μια χειρουργική επέμβαση κατά μήκος ενός κόμβου ή συνδέσμου για να παράγει μια νέα διαφορική δομή. Με τη βοήθεια αυτής της διαδικασίας μπορεί κανείς να παράγει μετρήσιμα άπειρες διαφορικές δομές. Αλλά ακόμη και για απλούς χώρους όπως οι $S^{4},{\mathbb {C} }P^{2},...$ δεν γνωρίζει κανείς την κατασκευή άλλων διαφορικών δομών. Για μη συμπαγείς 4-πολλαπλότητες υπάρχουν πολλά παραδείγματα όπως ${\mathbb {R} }^{4},S^{3}\times {\mathbb {R} },M^{4}\smallsetminus \{*\},...$ που έχουν αναρίθμητα πολλές διαφορικές δομές.

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Hirsch, Morris, Differential Topology, Springer (1997), ISBN 0-387-90148-5.
Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C., Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1977), ISBN 0-691-08190-5.
Asselmeyer-Maluga, T. and Brans, C.H., Exotic Smoothness in Physics. World Scientific Singapore, 2007, ISBN 978-981-02-4195-7