Βάθος (θεωρία δακτυλίων)

Στην αντιμεταθετική^[1] και ομολογική άλγεβρα^[2]^[3], το βάθος^[4]^[5] είναι ένα σημαντικό αναλλοίωτο των δακτυλίων και των προτύπων. Αν και το βάθος μπορεί να οριστεί γενικότερα, η πιο συνηθισμένη περίπτωση που εξετάζεται είναι η περίπτωση των ενοτήτων πάνω από έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο. Σε αυτή την περίπτωση, το βάθος μιας ενότητας σχετίζεται με την προβολική της διάσταση μέσω του τύπου Αουσλάντερ - Μπούξμπαουμ. Μια πιο στοιχειώδης ιδιότητα του βάθους είναι η ανισότητα.

\mathrm {depth} (M)\leq \dim(M),

όπου $\dim M$ δηλώνει τη διάσταση Κρουλ του προτύπου $M$ . Το βάθος χρησιμοποιείται για τον ορισμό κλάσεων δακτυλίων και ενοτήτων με καλές ιδιότητες, παραδείγματος χάριν, δακτυλίων και ενοτήτων Κοέν-Μακαουλέι, για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $R$ ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος, $I$ ένα ιδεώδες του $R$ και $M$ ένα πεπερασμένης παραγωγής $R$ -σύνολο με την ιδιότητα ότι $IM$ περιέχεται σωστά στο $M$ . (Δηλαδή, κάποια στοιχεία του $M$ δεν βρίσκονται στο $IM$ .) Τότε το $I$ -βάθος του $M$ , που συνήθως ονομάζεται και βαθμός του $M$ , ορίζεται ως εξής

\mathrm {depth} _{I}(M)=\min\{i:\operatorname {Ext} ^{i}(R/I,M)\neq 0\}.

Σύμφωνα με τον ορισμό, το βάθος ενός τοπικού δακτυλίου $R$ με ένα μέγιστο ιδανικό ${\mathfrak {m}}$ είναι το βάθος του ${\mathfrak {m}}$ ως ενότητα πάνω στον εαυτό του. $R$ είναι ένας τοπικός δακτύλιος Κοέν-Μακαουλέι, τότε το βάθος του $R$ είναι ίσο με τη διάσταση του $R$ .

Με βάση ένα θεώρημα του Ντέιβιντ Ρις, το βάθος μπορεί επίσης να χαρακτηριστεί χρησιμοποιώντας την έννοια της κανονικής ακολουθίας.

Θεώρημα (Ρις)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ας υποθέσουμε ότι ο $R$ είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος με το μέγιστο ιδεώδες ${\mathfrak {m}}$ και ο $M$ είναι ένα πεπερασμένης παραγωγής $R$ -σύνολο. Τότε όλες οι μέγιστες κανονικές ακολουθίες $x_{1},\ldots ,x_{n}$ για το $M$ , όπου κάθε $x_{i}$ ανήκει στο ${\mathfrak {m}}$ , έχουν το ίδιο μήκος $n$ ίσο με το ${\mathfrak {m}}$ βάθος του $M$ .^[6]

Βάθος και προβολική διάσταση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η προβολική διάσταση και το βάθος μιας ενότητας πάνω σε έναν αντιμεταθετικό τοπικό δακτύλιο Ναιτεριανού είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους. Αυτό είναι το περιεχόμενο του τύπου Αουσλάντερ - Μπούξμπαουμ, ο οποίος όχι μόνο έχει θεμελιώδη θεωρητική σημασία, αλλά παρέχει επίσης έναν αποτελεσματικό τρόπο υπολογισμού του βάθους μιας ενότητας. Ας υποθέσουμε ότι ο $R$ είναι ένας αντιμεταθετικός τοπικός Ναιτεριανος δακτύλιος με το μέγιστο ιδεώδες ${\mathfrak {m}}$ και ο $M$ είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο $R$ -πρότυπο. Αν η προβολική διάσταση του $M$ είναι πεπερασμένη, τότε ο τύπος Αουσλάντερ - Μπούξμπαουμ δηλώνει

\mathrm {pd} _{R}(M)+\mathrm {depth} (M)=\mathrm {depth} (R).

Δακτύλιοι μηδενικού βάθους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος $R$ έχει βάθος μηδέν αν και μόνο αν το μέγιστο ιδεώδες του ${\mathfrak {m}}$ είναι ένας συσχετιζόμενος πρώτος, ή, ισοδύναμα, όταν υπάρχει ένα μη μηδενικό στοιχείο $x$ του $R$ τέτοιο ώστε $x{\mathfrak {m}}=0$ (δηλαδή, το $x$ εκμηδενίζει το ${\mathfrak {m}}$ ). Αυτό σημαίνει, ουσιαστικά, ότι το κλειστό σημείο είναι ενα εμφυτευμένο στοιχείο.

Παραδείγματος χάριν, ο δακτύλιος $k[x,y]/(x^{2},xy)$ (όπου $k$ είναι ένα πεδίο), ο οποίος αναπαριστά μια ευθεία ( $x=0$ ) με ενσωματωμένο διπλό σημείο στην αρχή, έχει βάθος μηδέν στην αρχή, αλλά διάσταση ένα: αυτό δίνει ένα παράδειγμα δακτυλίου που δεν είναι Κοέν-Μακαλεϊ.

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Michael F. Atiyah, Ian G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading MA 1969, ISBN 0-201-00361-9.
Rainer Brüske, Friedrich Ischebeck, Ferdinand Vogel: Kommutative Algebra. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-14041-0.
Robin Hartshorne: Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics. 52). Springer, New York u. a. 1977, ISBN 3-540-90244-9.
Ernst Kunz: Introduction to commutative algebra and algebraic geometry (= Vieweg-Studium. 46 Aufbaukurs Mathematik.). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6.
Winfried Bruns, Jürgen Herzog: Cohen-Macaulay rings (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 39). Cambridge University Press, 1993.